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On the Theory of Moment and its Applications in Signal Processing

(信号処理におけるモーメントの理論とその応用に関する研究)

氏名 カレ アニル
学位の種類 博士(工学)
学位記番号 博甲第71号
学位授与の日付 平成5年3月25日
学位論文の題目 On the Theory of Moment and its Applications in Signal Processing(信号処理におけるモーメントの理論とその応用に関する研究)
論文審査委員
 主査 助教授 吉川 敏則
 副査 教授 大竹 孝平
 副査 教授 神林 紀嘉
 副査 教授 萩原 春生
 副査 助教授 中川 匡弘

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TABLE OF CONTENTS
Chapter 1 Introduction p.1
1.1 Statistical Moment and Cumulant p.2
1.2 Organization p.4
Chapter 2 Moment of Discrete-Time Signal and its Extension p.10
2.1 Background of Moment in Signal Processing p.12
2.2 Moment of Discrete-Time Signal p.29
2.2.1 Basic Definitions p.29
2.2.2 Time and Frequency Domain Expressions p.30
2.3 Extension of Moment-Blockwise Partial Moment p.32
2.3.1 Blockwise Partial Moment in Time Domain p.32
2.3.2 Blockwise Partial Moment in Frequency Domain p.33
2.4 Blockwise Partial Moment of Bandlimited Signals p.36
2.4.1 Invariant Property of Blockwise Partial Moment p.37
2.4.2 Frequency Spectrum of the Signal having Identical Partial Moments p.38
2.5 Applications of Blockwise Partial Moment p.40
2.5.1 Evaluation of Digital Interpolation Filter p.40
2.5.2 Recovery of Missing Signal Samples p.51
2.6 Review of the Chapter and Main results p.63
Chapter 3 Moment of Cepstrum p.65
3.1 Principles of Homomorphic Signal Processing p.66
3.1.1 Generalized Superposition p.66
3.1.2 Discrete-Time Homomorphic Deconvolution p.72
3.2 Theory of Cepstrum p.74
3.2.1 Complex Logarithm p.74
3.2.2 Realizations for the Systems D and D-1 p.80
3.2.3 Aliasing Effect in Computing the Complex Cepstrum p.83
3.2.4 Sampled Phase and Phase Unwrapping p.85
3.3 Moment of a Discrete-Time Signal and its Cepstrum p.89
3.3.1 Time-Domain Definition p.90
3.3.2 Frequency-Domain Definition p.91
3.3.3 Moment of the Cepstrum p.93
3.3.4 Example Calculation of Cepstral Moments p.96
3.4 Mixed Phase Signal and its Cepstral Moments p.100
3.4.1 Cepstrum of Linear Phase and Minimum Phase Sequence p.100
3.4.2 Example Calculation p.103
3.5 Cepstral Relations for the Rational z-Transforms p.105
3.5.1 Relation between Moment of Cepstrum and Poles/Zeros p.105
3.5.2 Condition on Zeros of FIR LowPass Filter p.107
3.5.3 Example calculation p.111
3.6 Review of the Chapter and Main results p.113
Chapter 4 Analytical Relation Between Moment and Signal Samples p.115
4.1 Classical Problem of Moments p.116
4.1.1 Problem Justification p.117
4.1.2 Background of Moment p.123
4.1.3 Complex Cepstrum and its Moments p.124
4.2 Derivation of the Analytical Relation p.131
4.2.1 Matrix Formulation of the Problem p.131
4.2.2 Actual Solution p.133
4.3 Examples p.138
4.4 Higher Order Moments in terms of Basis Set of Moments p.142
4.5 Computational Aspect p.144
4.6 Significance of the Analytical Relation p.145
4.7 Application of in Homomorphic Deconvolution p.146
4.7.1 Moment of Convolved Sequences p.146
4.7.2 A Second Method to express Moments of a convolved sequence p.148
4.7.3 Computer Simulation Results p.150
4.7.4 Adaptation of the Proposed Scheme to Echo Removal p.152
4.8 Review of the Chapter and Main results p.156
Chapter 5 Moment of Quantized Signal p.158
5.1 A Review of the Ordering Problem in FIR Filter p.159
5.2 Moment of Impulse Response in Direct and Cascade Form p.162
5.2.1 Basic Moment Definitions p.162
5.2.2 Moments in Direct and Cascade Form FIR Filter p.164
5.3 Coefficient Quantization and Deviation in Moment Values p.165
5.3.1 Moment vs. Roundoff Noise in Direct Form of Realization p.165
5.3.2 Moment vs. Roundoff Noise in Cascade Form of Realization p.168
5.4 Noise Figure for a Cascade of Two-Ports p.170
5.5 Ordering and Roundoff Noise in Cascade Form FIR Filter p.173
5.6 An Algorithm for Ordering the Cascade Sections p.177
5.7 An Ordering Example Using the Proposed Algorithm p.181
5.8 Comparison of the New Algorithmwith the Existing Algorithms p.185
5.9 Review of the Chapter and Main results p.187
Chapter 6 Conclusions p.189
Acknowledgment p.194
References p.196
List of Publications p.199

 波形モーメントは、統計学上のモーメントを信号波形の評価に適用したものである。離散時間信号の波形のモーメントは、時間域での定義から、信号の重心、分散、対称性などの特徴を数値的に表現できる。さらに、周波数域での関係式には信号の周波数スペクトルの高次微分が含まれているので、信号処理での有効な手段となる。本論文は、モーメントの概念を用いて、信号処理における有用な理論を導き、具体的な応用について論じている。
 第1章では、本研究の背景と目的、さらに本論文の構成について述べている。
 第2章では、モーメントの基本的性質を拡張し、ブロック部分モーメントを定義する。理想的に帯域制限されている信号系列のブロック部分モーメントが不変性をもつことを証明し、この特性を用いて、二つの応用例を示す。一番目の応用例では、内挿フィルタの評価を行う。一般に内挿フィルタを評価する場合、フィルタの出力信号に加えて、理想的に内挿された信号系列も必要となる。この二つの信号系列からフィルタのSN比を計算し、評価する。これに対して、モーメントを用いる評価方法では従来の方法より利点があり、内挿フィルタの評価を出力信号のみを用いて少ない計算量で実現できる。また、内挿フィルタの評価のための二つの尺度、SN比とブロック部分モーメントの差の間には相関があり、SN比の代りにモーメントの差が使用できる。二番目の応用として、帯域制限されている信号系列中のいくつかのサンプル値を復元する方法を示す。モーメントを用いた復元方法は、簡単な線形方程式を解くことが可能である。例えば、一つのサンプル値の復元は二つの部分モーメントを用いて簡単に実現できる。複数サンプル値の場合でも、同様に行え、他の方法と比較して計算量の点で有利である。更に、この方法では失われたサンプル位置も検出することが可能である。
 第3章では、非線形信号処理の一つの手法として、準同形信号処理を論じている。この種の手法は、映像の強調、音声の解析、地震波分析などを含む多くの分野に応用されている。このような手法では、複素対数の定義における不確定性の問題が、計算上重大な問題として現れる。そして、準同形システムを実現する場合、ケプストラム系列を求める必要があり、従来の計算法には、複雑な位相のアンラッピング・アルゴリズムが必要である。また、従来の方法はエリアジングの問題が生じる。そこで、ケプストラム系列のモーメントと元の信号系列のモーメントの間の関係を明らかにして、従来のケプストラムを用いた様々な信号処理法方に対する新しい方法を提案している。一般には、ケプストラム系列を直接計算することはできないが、信号系列とその信号のケプストラム系列の各々の波形モーメントの間には関係があり、これを用いると、ケプストラム係数を直接計算せずに求められる。新しい方法では、前述のような問題が全くなく、ケプストラム系列のモーメントを理想的に表現することができる。また、直線位相デジタル信号系列から、最小位相信号系列を計算せずに、最小位相信号系列の波形モーメントを求める計算方法を示す。一般にディジタルフィルタを実現する場合、係数量子化によってシステム関数の零点と極点が移動する。この時のインパルス応答のモーメントと零点/極点の間の線型関係を示す。さらに、実係数低域通過FIRフィルタの零点とフィルタ次数間の新しい関係式を導出する。
 第4章では、有限区間離散時間信号を表現する新しい方法について論じている。多くの信号解析法では、ある有限離散時間信号のモーメントを定義式から計算できるが、与えられたモーメントから元の信号サンプル値を計算する方法は存在しない。そこで、モーメントと信号サンプル値の間の代数的な関係を導出し、逆畳み込みへのモーメントを用いた新しい方法を提案している。この代数的な関係は一般的であり、フィルタ設計パラメータから得られるモーメントから解析的にインパルス応答を求めることもできる。故に、この方法の利点は、従来の設計方法の数値的解法に含まれる誤差が存在しないことである。有限区間離散時間システムの設計パラメータとして、波形モーメントを基にした新しい方法を導出し、前述の理論を用いたいくつかの応用例を示す。更に、逆畳み込みやエコーキャンセラーに対しても、本方法の有効性を具体例等から示す。
 第5章では、有限語長の場合について、モーメントの差と丸め雑音との相関を論じている。縦続型FIRディジタルフィルタを有限語長で実現する場合、オーダリングとスケーリングが出力丸め雑音に大きく影響する。最も低い出力丸め雑音のオーダリングを求めるには、全ての二次区間縦続セクションの組み合わせを調べなければならない。全てのオーダリングの内、大部分は出力丸め雑音が小さい事が報告され、準最適なオーダリングを求めるアルゴリズムもいくつか提案されている。しかし、これらのアルゴリズムでは、高次フィルタの取り扱いは容易ではない。更に、スケーリングを決定するための計算量も増加する。そこで本方法は、二次区間セクションのインパルス応答のモーメントを用い、有限語長の場合にこのモーメントの差が丸め雑音と相関があることを利用している。そして、アナログ信号処理で用いられている雑音指数の概念を使うことで効率を上げている。本方法でも従来の方法のように準最適なオーダリングが求まる。また、次数等に関係なく、任意のFIRフィルタに適用できる。本方法で得られたオーダリングに対する丸め雑音の値が、最適なオーダリングの丸め雑音の値に近い事をいくつかの具体例から確かめている。
 第6章では、本論文のまとめを示すと共に本研究の工学における有効性と意義を結論づけている。

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